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Hallo

ich habe folgenden Datensatz aus einer Befragung, in der Teilnehmer nach ihrer favorisierten Trainigsmethode gefragt wurden. Die Gruppe ist sehr klein (N=16).

Methode1 = 1
Methode2 = 2
Methode3 = 4
Methode4 = 9

Zunächst hätte ich gedacht, dass der Chi Square Goodness of Fit Test hier passend wäre, um zu ermitteln, dass die Bevorzugung von Methode4 signifikant ist. Allerdings wäre der Erwartungswert ja jeweils nur 4 je Methode, was wohl zu wenig ist da er mindestens 5 sein sollte?

Welche Alternativen Tests bieten sich hier an? Ich bin dazu immer auf den Exakten Test nach FIsher gestoßen, habe aber nirgendwo eine Erklärung gefunden wie er sich auf meinen Fall anwenden lässt, sondern immer nur 2x2 Tabellen dazu gefunden.

Danke und beste Grüße!

Je nach Computerprogramm kannst Du den Test statt über die Chiquadratfunktion über eine Monte-Carlo-Simulation durchführen: Hier einmal in R über den normalen Weg:

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> chisq.test(c(1,2,4,9))

   Chi-squared test for given probabilities

data:  c(1, 2, 4, 9)
X-squared = 9.5, df = 3, p-value = 0.02333

Warning message:
In chisq.test(c(1, 2, 4, 9)) :
  Chi-Quadrat-Approximation kann inkorrekt sein


Du siehst, dass zwar ein p-Wert angezeigt wird, Du siehst aber auch, dass vor möglichen Fehlern gewarnt wird.

Hier ebenfalls in R der Weg über die Monte-Carlo-Berechnung:

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> chisq.test(c(1,2,4,9), simulate.p.value = TRUE, B = 10000)

   Chi-squared test for given probabilities with simulated
   p-value (based on 10000 replicates)

data:  c(1, 2, 4, 9)
X-squared = 9.5, df = NA, p-value = 0.025


Hier solltest Du durch ausprobieren, ob wiederholte Durchführung immer wieder zum fast gleichen Ergebnis kommt. Wenn die Schwankungen größer sind als Dein Bedürfnis nach Exaktheit akzeptieren will, musst Du die Zahl der Replikate B erhöhen. Hier 10 Bestimmungen mit B=10.000

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> replicate(10, chisq.test(c(1,2,4,9), simulate.p.value = TRUE, B = 10000)$p.value)
[1] 0.02289771 0.02299770 0.02479752 0.02679732 0.02749725
[6] 0.02339766 0.02429757 0.02659734 0.02469753 0.02609739

Wir haben also keinen Zweifel daran, dass p < 0,03 ist und damit auch keinen Zweifel, dass es unter 0,05 ist. Wenn wir aber einen auf zwei Nachkommastellen exakten p-Wert angeben wollen, reicht B = 10.000 offensichtlich nicht aus. Was passiert mit B = 100.000? Da merkt man dann schon, dass Monte Carlo-Simulationen Zeit brauchen. Bis wir die 10 Werte haben, können wir noch schnell aufs Klo gehen:

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> replicate(10, chisq.test(c(1,2,4,9), simulate.p.value = TRUE, B = 100000)$p.value)
[1] 0.02402976 0.02403976 0.02378976 0.02368976 0.02462975
[6] 0.02470975 0.02420976 0.02450975 0.02428976 0.02376976

Ok, wir kommen der zweiten Nachkommastelle näher... und die CHiquadrat-Approximation war gar nicht so schlecht, obwohl nicht alle Zellenbesetzungen über 5 sind.

Wir können also mit p < 0,05 sagen, dass die Häufigkeiten nicht gleichverteilt sind.

HTH,
Bernhard

Herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich war auch gerade daran es in R mit so einer Simulation zu machen und kam im ersten Versuch auch auf knapp unter 0,03.
Die Funktionen in R kannte ich aber so noch nicht, so dass es bei mir etwas komplizierter war, bis ich das zusammen hatte. Super, dass du das gleich alles mitgeliefert hast.