Stichprobenverteilung für verschiedene Schätzer

Fragen, die sich auf kein spezielles Verfahren beziehen.

Stichprobenverteilung für verschiedene Schätzer

Beitragvon Freddy19911 » Sa 17. Apr 2021, 10:14

Hallo Zusammen,

in den meisten Lehrbüchern die ich zu dem Thema gelesen habe erfolgt die Einführung in die Schätztheorie durch die Schätzung des Erwartungswerts bzw. die Konstruktion eines KI für den Erwartungswert. In diesem Zusammenhang wird dann der zentrale Grenzwertsatz sowie die Eigenschaft vorgestellt, dass die Stichprobenverteilung des Mittelwerts ab einer bestimmten Stichprobengröße approximativ einer Normalverteilung folgt.
Diese Eigenschaft spielt dann ja allen voran bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen (KI) und Hypothesentests eine Rolle.

Nun gibt es daneben aber ja noch eine Reihe weiterer Parameter, die anhand einer Stichprobe geschätzt werden können. Ich denke dabei bspw. an den Median, den Anteilswert oder die Varianz.
Anfänglich bin ich davon ausgegangen, dass auch die Stichprobenverteilungen dieser Parameter ab einer bestimmten Stichprobengröße einer Normalverteilung folgen, habe dann aber durch einen Thread hier gelernt, dass dem nicht so ist.
Ich stelle mir nun die Frage, ob es auch für die Stichprobenverteilung anderer Parameter jeweils eine Verteilung gibt die angenommen werden und dann bspw. zur Konstruktion von KI genutzt werden kann oder ob der Ablauf hier ein ganz anderer ist. Anders ausgedrückt: Ist die Logik der Konstruktion von KI für alle möglichen zu schätzenden Parameter die gleiche? Vereinfach: zu Beginn gilt es einen Punkschätzer für den interessierenden Parameter zu berechnen, um den dann ein "Wahrscheinlichkeitsintervall" gespannt wird, welches auf Basis einer angenommenen Verteilung (beim KI für den Erwartungswert dann auf Basis der Normalverteilung) erstellt wird. Existiert also äquivalent zum zentralen Grenzwertsatz eine Eigenschaft, nach der bspw. die Stichprobenverteilung der Varianz ab einer bestimmten Stichprobengröße approximativ einer bestimmten Verteilung folgt? Ich wäre auch dankbar, wenn jemand einen Hinweis oder Link hat, wo auch die Stichprobenverteilung anderer Parameter (nicht nur des Mittelwerts) erläutert wird.

Vielen Dank und ein schönes Wochenende
Freddy19911
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Re: Stichprobenverteilung für verschiedene Schätzer

Beitragvon PonderStibbons » Sa 17. Apr 2021, 12:14

Hier für den Median dargestellt, einschließlich large samples.

Mit freundlichen Grüßen

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Re: Stichprobenverteilung für verschiedene Schätzer

Beitragvon Freddy19911 » So 18. Apr 2021, 09:25

Vielen dank für deine Antwort. Sofern ich die Infos hinter dem Link richtig verstanden habe, folgt die Stichprobenverteilung für den Median also asymptotisch einer Normalverteilung.
Daraus nehme ich mit, dass ich mit meiner Vermutung richtig liege:
Freddy19911 hat geschrieben:Anders ausgedrückt: Ist die Logik der Konstruktion von KI für alle möglichen zu schätzenden Parameter die gleiche? Vereinfach: zu Beginn gilt es einen Punkschätzer für den interessierenden Parameter zu berechnen, um den dann ein "Wahrscheinlichkeitsintervall" gespannt wird, welches auf Basis einer angenommenen Verteilung (beim KI für den Erwartungswert dann auf Basis der Normalverteilung) erstellt wird. Existiert also äquivalent zum zentralen Grenzwertsatz eine Eigenschaft, nach der bspw. die Stichprobenverteilung der Varianz ab einer bestimmten Stichprobengröße approximativ einer bestimmten Verteilung folgt?


Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand noch kurz bestätigen (oder mir widersprechen) könnte, ob dem so ist oder ob ich schon zu Beginn etwas fundamentales nicht verstanden habe.

Danke!
Freddy19911
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