Varianz berechnen aus Wahrscheinlichkeitsfunktion

Univariate Statistik.

Varianz berechnen aus Wahrscheinlichkeitsfunktion

Beitragvon ocrim9 » Fr 16. Sep 2022, 22:57

Moin zusammen,

ich habe eine Frage, die wahrscheinlich den meisten hier sehr einfach erscheinen wird.
Dabei handelt es sich um 2 Aufgaben aus Altklausuren, die ich zur Prüfungsvorbereitung verwende :D
Es geht dabei um die Berechnung der Varianz, allerdings nicht aus einem vollständigen Datensatz, sondern

- im ersten Fall aus einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion
f(x) = 0,1x für x = 1,2,3,4
f(x) = 0 sonst

Grundsätzlich ist mir die Berechnung der Varianz geläufig, aber mein Ergebnis scheint leider falsch zu sein (jedenfalls nach Musterlösung).
Mein Gedanke war folgender:
f(1) = 0,1 * 1 = 0,1
f(2) = 0,1 * 2 = 0,2
f(3) = 0,1 * 3 = 0,3
f(4) = 0,1 * 4 = 0,4

Da diese Funktion ja diskret ist (richtig?) wäre die Formel zur Berechnung:
Var(x) = Sum (xi - µ)² * f(xi)
Var(x) = Sum (4 -2,5)² * (0,4)

Hier komme ich auf ein Ergebnis von 3,6 ...
Mag mir jemand auf die Sprünge helfen? :)


- im zweiten Fall ein ähnliches Problem. Die Aufgabenstellung gibt folgendes her:
Der Frauenanteil beträgt 52,8%. X ist die Anzahl der Frauen von einer Stichprobe mit n=85. Hier soll nun die richtige approximative Verteilung aus verschiedenen Optionen gewählt werden.

Mir ist soweit klar, dass es sich um eine Normalverteilung handelt mit X~(µ,σ²).
Da es sich bei µ um den Erwartungswert handelt bin ich hier von 85 * 0,528 = 44,88 ausgegangen.
Bei σ² handelt es sich ja um die Varianz. Ich komme hier aber nicht weiter, da ich nicht weiß welche Werte ich in die Formel einsetzen muss.

Falls mir jemand bei den beiden Fällen Hilfestellung geben kann, wäre ich sehr dankbar! Bin grade ein wenig am verzweifeln :?
ocrim9
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Re: Varianz berechnen aus Wahrscheinlichkeitsfunktion

Beitragvon bele » Sa 17. Sep 2022, 08:47

Hallo ocrim,

ocrim9 hat geschrieben:Da diese Funktion ja diskret ist (richtig?)


Das ist richtig.

wäre die Formel zur Berechnung:
Var(x) = Sum (xi - µ)² * f(xi)
Var(x) = Sum (4 -2,5)² * (0,4)


Die Formel habe ich nicht überprüft. Was ich nicht verstehe ist, wie Du von der ersten auf die zweite Zeile kommst. Willst Du diesen Übergang mal begründen?

Mir ist soweit klar, dass es sich um eine Normalverteilung handelt mit X~(µ,σ²)
.

Näherungsweise, wenn Ihr die Binomialverteilung noch nicht gelernt habt.

LG,
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Re: Varianz berechnen aus Wahrscheinlichkeitsfunktion

Beitragvon ocrim9 » Sa 17. Sep 2022, 14:52

Hallo bele,

Die Formel habe ich nicht überprüft. Was ich nicht verstehe ist, wie Du von der ersten auf die zweite Zeile kommst. Willst Du diesen Übergang mal begründen?


Die Formel habe ich so aus der uns gegebenen Formelsammlung übernommen!
In der zweiten Zeile hatte ich die Werte eingesetzt, die ich für richtig gehalten habe;
- 4 für xi als den höchsten Wert für X
- 2,5 für µ als arithmetisches Mittel aus (4+3+2+1)/4
- 0,4 für den zugehörigen Wert von xi = 4

Ich bin mir hierbei aber auch nicht sicher... wüsste aber nicht, welche Werte ich alternativ nutzen sollte :roll:


Bei der zweiten Aufgabe;
Näherungsweise, wenn Ihr die Binomialverteilung noch nicht gelernt habt.


Die Binomialverteilung hatten wir bereits behandelt. Diese beschreibt, zumindest soweit ich das verstanden habe, einen vielfach wiederholten Bernoulli Vorgang.
Ich hatte zwar auch darüber nachgedacht, aber X gibt in diesem Fall ja nicht den Anteil an "erfolgreichen" (= weiblich bspw.) Bernoulli Versuchen wieder, sondern die Anzahl der weiblichen Teilnehmer aus der Grundgesamtheit von n=85. Daher hätte ich in diesem Fall zur Normalverteilung gegriffen. Oder habe ich hier einen Fehler gemacht?

Lg,
Mirco
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Re: Varianz berechnen aus Wahrscheinlichkeitsfunktion

Beitragvon bele » Sa 17. Sep 2022, 17:22

Moin,

als Du geschrieben hast: Sum (xi - µ)² * f(xi) habe ich verstanden



War das richtig?

In der zweiten Zeile hatte ich die Werte eingesetzt, die ich für richtig gehalten habe;
- 4 für xi als den höchsten Wert für X


Das bedeutet: setze alle der Reihe nach in die Formel rechts ein und bilde von allen Ergebnissen die Summe. Du hast aber nicht alle eingesetzt, sondern einfach eingesetzt. Von dem steht nichts in der Formel und danach hattest Du dann auch nichts mehr zu summieren, was das "sum" in Deiner Schreibweise rechtfertigen würde.


Die Binomialverteilung hatten wir bereits behandelt. Diese beschreibt, zumindest soweit ich das verstanden habe, einen vielfach wiederholten Bernoulli Vorgang.
Ich hatte zwar auch darüber nachgedacht, aber X gibt in diesem Fall ja nicht den Anteil an "erfolgreichen" (= weiblich bspw.) Bernoulli Versuchen wieder, sondern die Anzahl der weiblichen Teilnehmer aus der Grundgesamtheit von n=85.


Das Bernoulli-Experiment ist, ob ein Spermium mit oder ein Spermium ohne Y-Chromosom das Ei befruchtet und die Wahrscheinlichkeit für ein Y-Chromosom-freies Spermium ist immer gleich, nämlich 52,8 %. Also für mich klingt das nach einem Binomialmodell, aber in der Tat kann man das auch durch eine Normalverteilung approximieren. Vorteil der Binomialverteilung wäre halt, dass Du in der Formelsammlung deren Varianz findest.

LG,
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